前回に引き続き、算数の小ネタです。
以前の記事（比の問題）で、内項の積と外項の積が等しいことを利用する問題を取り上げました。
比の問題において、内項の積と外項の積が等しいことは、常識と言っていいくらい中学入試において頻出項目です。
おそらく、（内項の積と外項の積について）既に知っている方も多いのではないでしょうか。
ただ、なぜそうなるか？ については分からない人も居るのではないかなと思います。
中学入試に馴染みが無い人であれば、内項の積と外項の積について知らないかもしれません。
内項の積と外項の積を知らなくても問題ありません。
家庭学習等で、算数を説明する際に参考になるように今回の記事を書いておきます。
小ネタということもあり普段の記事より短いため、サッと読んで今後の家庭学習に活かしてもらえたらと思います。
内項の積と外項の積
比の内項と外項とは
算数の頻出問題の一つに比の問題があります。
文章題で使う以外に、図形（相似）などでも利用するため中学入試の最重要項目です。
比の問題では二つの比が等しいという状況によく出くわします。
例えば、
a：b＝c：d
という状況です。
（以下では説明の都合で外項を先、内項を後に挙げます）
ここで外項と言われるのはaとd、内項と言われるのはbとcです。
二つの比が等しいという最も基本的な比の例題として、以下のようなものがあります。
（例題1）1：2＝□：10のとき、□に当てはまる数字を求めなさい。
これは比の基本問題ですね。
□2個分が10になるため、
10÷2=5
と考えて、□=5です。
比の外項の積と内項の積とは
先ほどの、
a：b＝c：d
を用いて説明します。
外項どうしの積はa×d
内項どうしの積はb×c
となります。これを使った重要公式は下の通りです。
上述の例題1を、これを使って解きます。
（例題1）1：2＝□：10のとき、□に当てはまる数字を求めなさい。
外項の積は1×10
内項の積は2×□
これが等しいので、2×□=10
よって、□=5
と分かります。
外項の積と内項の積が等しくなる理由
外項の積と内項の積が等しくなる理由は、比の値を考えると分かりやすいと思います。
比の値とは
比の値という言葉を聞いたことはありませんか？
比というのはそもそも割合のことであり、比の値とは比に含まれる数字がもう片方の数字の何倍になるかを表します。
言葉では分かりにくいので、数式で書きます。
a：bという比の値は、a÷b（a/b）で求めます。
例えば、12：4であれば、比の値は12÷4=3となります。
そもそも「÷」という記号を使わず、割り算に「：」を用いる国もあるそうです。
つまり、「：」（比）というのはそもそも割り算と同じなんですね。
外項の積と内項の積
a：b＝c：dという数式において
左辺の比の値は、a÷b
右辺の比の値は、c÷d
となります。
これが等しいので、
a÷b=c÷d（a/b=c/d）
この式の両辺にb×dをかけます（両辺の分母を無くします）。
a÷b×b×d=c÷d×b×d
→a×d＝c×b
となります。
文字の計算は小学生には少し難しいかも……。
説明の際は具体的な数字を当てはめた方が、小学生にはイメージしやすいかもしれません。
まとめ
今回は中学入試算数で頻出の、比の問題の中でも重要な内項の積と外項の積が等しくなることに関して説明しました。
比較的易しい内容とは思いますが、中学入試に馴染みが無ければ知らなくても不思議ではありません。
今回の記事を参考に、家庭学習に役立てて頂ければと思います。
今後も中学入試に関係する、家庭学習に役立ちそうなことを記事にしていこうと思います。
今回のような小ネタでも良いので、記事にして欲しいことがあればコメントください。